Tablica całek i pochodnych

Tablice wzorów przydatnych przy rozwiązywaniu całek i pochodnych.

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$$

Tabela pochodnych

n	Funkcja	Pochodna
1	$f(x) = C$	$f^\prime(x) = 0$
2	$f(x) = x^n$	$f^\prime(x) = n x^{n - 1}$
3	$f(x) = x$	$f^\prime(x) = 1$
4	$f(x) = \frac{1}{x}$	$f^\prime(x) = -\frac{1}{x^2}$
5	$f(x) = \sqrt{x}$	$f^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
6	$f(x) = e^x$	$f^\prime(x) = e^x$
7	$f(x) = \ln x$	$f^\prime(x) = \frac{1}{x}$
8	$f(x) = \sin x$	$f^\prime(x) = \cos x$
9	$f(x) = \cos x$	$f^\prime(x) = -\sin x$
10	$f(x) = \tan x$	$f^\prime(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

Wzory na pochodne

• $D(c f(x)) = c D(f(x))$
• $D(f(x) \pm g(x)) = D(f(x)) \pm D(g(x))$
• $D(f(x)g(x)) = D(f(x))g(x) + D(g(x))f(x)$
• $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{D(f(x))g(x) - D(g(x))f(x)}{g(x)^2}$

Tabela całek

n	Całka	Wartość
1	$\int dx$	$x + C$
2	$\int a\,dx$	$ax + C$
3	$\int x^n\,dx$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$
4	$\int \frac{dx}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
5	$\int e^x\,dx$	$e^x + C$
6	$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + C$
7	$\int \cos x\,dx$	$\sin x + C$
8	$\int \frac{dx}{x^2 + a^2}$	$\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

Podstawienie uniwersalne

Dla $\int F(\sin x, \cos x)\,dx$:

• $t = \tan\frac{x}{2}$
• $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$
• $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
• $dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}$

Dla $\int F(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cos x)\,dx$:

• $t = \tan x$
• $\sin^2 x = \frac{t^2}{t^2 + 1}$
• $\cos^2 x = \frac{1}{t^2 + 1}$
• $\sin x \cos x = \frac{t}{t^2 + 1}$
• $dx = \frac{dt}{t^2 + 1}$